Taux de variation et nombre dérivé : aspects graphiques

L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi que le nombre dérivé en un réel  `a` .

Pour ce faire, considérons la courbe représentative de la fonction   `f` définie sur `\mathbbR` par `f(x)=x^2` ,  `f` est la fonction carré.
On appelle  `\text{A}`  le point de    `C_f`  d’abscisse `a` .
On appelle `\text{M}`  le point de `C_f`  d’abscisse  `a+h` , `h` étant un réel non nul.
Ainsi la droite `\text{(AM)}` est sécante à   `C_f` .

1. Taux de variation et coefficient directeur de sécantes
Le fichier de géométrie dynamique suivant affiche la courbe représentative de la fonction carré.

a. Choisir `\text{1}` pour abscisse du point  `\text{A}` .
b. En faisant varier le curseur `h` , décrire la position de la droite  \(\text{(AM)}\)  selon les valeurs prises par  `h` .
c. Pour  `h=1` , calculer le coefficient directeur de la droite   `\text{(AM)}` puis le taux de variation de la fonction  `f` entre    `\text{1}`   et    `\text{2}` . Que remarque-t-on ?
On pourra faire afficher sur le fichier le taux de variation en sélectionnant la boîte « Taux ».

2. Nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente
Dans cette question, \(\text A\) est le point d'abscisse \(\text 1\) de la courbe représentative de la fonction \(f\) .
a.   Exprimer le coefficient directeur de la droite  `\text{(AM)}` en fonction de  `h` .
b. Établir le lien entre le taux de variation de `f`  en `1`  et le coefficient directeur de la droite  `\text{(AM)}` .
c. En faisant varier le curseur `h` , de sorte qu'il approche le plus possible `\text{0}` , observer et décrire les positions prises par le point `\text{M}` puis celles prises par la droite `\text{(AM)}` .
d. Lorsque   `h=0` , le logiciel n'affiche plus de droite. Comment peut-on expliquer cela ? Appuyer sur « Position limite »  puis donner le coefficient directeur de la droite rouge qui apparaît.

La droite correspondant à cette position limite s'appelle droite tangente à la courbe représentative de la fonction   `f`  au point d'abscisse `\text{1}` . Son coefficient directeur est le nombre dérivé de la fonction  `f`  au point d'abscisse `\text{1}` , c'est-à-dire la limite, quand elle existe, lorsque `h` tend vers  `\text{0}`   du taux de variation de la fonction `f` entre  `\text{1}`  et `\text{1}+h` . On le note \(f'(1)\) . 

Il est possible d'afficher d'autres courbes représentatives de fonctions à étudier grâce à la boîte de dialogue dédiée du fichier de géométrie dynamique.