Taux de variation et nombre dérivé : aspects graphiques

L'objectif de cette activité est d'interpréter géométriquement le taux de variation d'une fonction ainsi que le nombre dérivé en un réel  $a$ .

Pour ce faire, considérons la courbe représentative de la fonction   $f$ définie sur $\text{mathbbR}$ par $f(x)=x^2$ ,  $f$ est la fonction carré.
On appelle  $\text{A}$  le point de    $C_f$  d’abscisse $a$ .
On appelle $\text{M}$  le point de $C_f$  d’abscisse  $a+h$ , $h$ étant un réel non nul.
Ainsi la droite $\text{(AM)}$ est sécante à   $C_f$ .

1. Taux de variation et coefficient directeur de sécantes
Le fichier de géométrie dynamique suivant affiche la courbe représentative de la fonction carré.

a. Choisir $\text{1}$ pour abscisse du point  $\text{A}$ .
b. En faisant varier le curseur $h$ , décrire la position de la droite  $\text{(AM)}$  selon les valeurs prises par  $h$ .
c. Pour  $h=1$ , calculer le coefficient directeur de la droite   $\text{(AM)}$ puis le taux de variation de la fonction  $f$ entre    $\text{1}$   et    $\text{2}$ . Que remarque-t-on ?
On pourra faire afficher sur le fichier le taux de variation en sélectionnant la boîte « Taux ».

2. Nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente
Dans cette question, $\text{A}$ est le point d'abscisse $\text{1}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ .
a.   Exprimer le coefficient directeur de la droite  $\text{(AM)}$ en fonction de  $h$ .
b. Établir le lien entre le taux de variation de $f$  en $1$  et le coefficient directeur de la droite  $\text{(AM)}$ .
c. En faisant varier le curseur $h$ , de sorte qu'il approche le plus possible $\text{0}$ , observer et décrire les positions prises par le point $\text{M}$ puis celles prises par la droite $\text{(AM)}$ .
d. Lorsque   $h=0$ , le logiciel n'affiche plus de droite. Comment peut-on expliquer cela ? Appuyer sur « Position limite »  puis donner le coefficient directeur de la droite rouge qui apparaît.

La droite correspondant à cette position limite s'appelle droite tangente à la courbe représentative de la fonction   $f$  au point d'abscisse $\text{1}$ . Son coefficient directeur est le nombre dérivé de la fonction  $f$  au point d'abscisse $\text{1}$ , c'est-à-dire la limite, quand elle existe, lorsque $h$ tend vers  $\text{0}$   du taux de variation de la fonction $f$ entre  $\text{1}$  et $\text{1}+h$ . On le note $f^{\prime }(1)$ . 

Il est possible d'afficher d'autres courbes représentatives de fonctions à étudier grâce à la boîte de dialogue dédiée du fichier de géométrie dynamique.